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　　※094.代数基本定理

　　高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）

　　1797年

　　富勒（Greg Fowler）以图解方式表现z3-1 =0的三个根分别是1、-0.5+0.86603i、-0.5-0.86603i。这三个根是利用是牛顿法计算出的近似值，就位于图中三颗大牛眼般图案的中心位置。

　　阿尔·萨马瓦尔的《耀眼的代数》（约1150年），正十七边形作图（1796年），高斯的《算术研究》（1801年）及琼斯多项式（1984年）

　　代数基本定理可以用很多方式表达，其中一种说法是，对于任何一个n（n≥1）次的多项式而言，不论其多项式系数为实数或复数，都会有n个实数或复数的根。换句话说，n次多项式P（x）会有n个值xi（其中有些值数字可能重复），使得P（xi）=0；在此也一并交代所谓n次多项式方程式的形式，就是P（x）=ax+ax+…+a x+a=0，其中a≠0。

　　举一个二次多项式f（x）=x-4的例子说明。画成图形时，这个多项式曲线会是一个x最小值为-4的拋物线，并且有两个不同的实数根（x=2及x=-2），也就是拋物线图形和x轴的两个交会点。

　　这个定理之所以重要，其中一部分原因在于历史上几乎没有人成功证明该定理。我们往往会把德国数学家高斯视为证明代数基本定理的第一人，当时已经是1797年了。高斯在他于1799年出版的博士论文中，完整呈现他的证明方式，特别是针对系数为实数的多项式，并直陈无法苟同前人尝试证明该定理的方法。以今日的标准严格说来，高斯当年证明的方式也还不够完备，因为他必须依赖某些曲线的连续性特征，不过高斯的方法较诸于前人尝试证明的方式，已经称得上是有显著地改良了。

　　高斯非常看重代数基本定理，从他一生中不停回过头来探讨此一主题就可看出端倪。高斯在他生前最后一篇论文中，留下第四次证明代数基本定理的记录，那年是1849年，恰好是高斯发表博士论文后的整整第五十年。附带一提的是，阿尔冈（Jean-Robert Argand）在1806年发表的代数基本定理证明，是当多项式系数为复数都能适用的严谨证明方式。很多数学领域都牵涉到代数基本定理，因此，它的证明方法横跨抽象代数到复变函数分析再到拓扑学等各种不同的领域。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现