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　　※093.正十七边形作图

　　高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）

　　1796年

　　一只悠游在正十七边形池子中的小丑鱼。

　　为质数而生的蝉（约公元前100万年），埃拉托斯特尼筛检法（公元前240年），哥德巴赫猜想（1742年），正十七边形作图（1796年），高斯的《算术研究》（1801年），黎曼假设（1859年），质数定理的证明（1896年），布朗常数（1919年），吉伯瑞斯猜想（1958年），乌拉姆螺线（1963年）及安德里卡猜想（1985年）

　　1796年，当时还只是十多岁青少年的高斯就发现只用尺、规两种工具作出正十七边形的方法，他把自己的创见发表在1801年出版最具代表性的作品《算术研究》上。由于自从欧几里得时代以来，所有相关的尝试全部以失败告终，也就越发凸显高斯发现用标尺画出正十七边形的重要意义。

　　超过一千多年以来，数学家知道如何用标尺画出正n边形，只不过n值必须是3或5的倍数，或者是2的次方数；高斯扩大的这个家族的范围，指出只要一个多边形的边数是质数，且符合2（2）+1、其中n为非负整数的这条公式，就能够用标尺将之画出。我们可以列举其中几个例子像是F=3、F =5、F=17、F=257、F=65537（符合这个公式的数字也称作费马数，但不是每个费马数都是质数）。正257边形这个作图直到1832年才完成。

　　尽管随着年纪渐长，高斯却始终认为正十七边形的作图发现，是他一生中最伟大的成就之一。他曾打算将一个正十七边形的图案刻在自己的墓碑上，不过据说他找上的石匠回应说，这个不容易画出的图形基本上就算刻出来，看起来也跟一个圆没什么两样，因此婉拒了高斯的请托。

　　1796年对高斯而言可说是鸿运当头的一年，他的许多想法在这一年就如同从消防栓源源不绝涌出的水柱一样，除了发现正十七边形的作图方法外（该年3月30日），高斯还在4月8日发明了同余算术和二次互反律，在5月31日提出质数定理。其他还包括证明任一正整数最多只需三个三角形数的和就能加以表示（7月10日），系数为有限体的元素之多项式系数的解法（10月1日）。回到本文的正十七边形，就连高斯本人也认为自欧几里得年代以来，那么少的正多边形标尺作图法被发现，这件事实在是“太神奇了”！ 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现