您可以在百度里搜索“数学之书：数学史上250个里程碑式的发现 艾草文学(www.321553.xyz)”查找最新章节！

　　※095.高斯的《算术研究》

　　高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）

　　1801年

　　丹麦艺术家简森（Christian Albrecht Jensen）所绘制的高斯画像。

　　为质数而生的蝉（约公元前100万年），埃拉托斯特尼筛检法（公元前240年），哥德巴赫猜想（1742年），正十七边形作图（1796年），黎曼假设（1859年），质数定理的证明（1896年），布朗常数（1919年），吉伯瑞斯猜想（1958年），乌拉姆螺线（1963年），群策群力的艾狄胥（1971年），公钥密码学（1977年）及安德里卡猜想（1985年）

　　霍金对于高斯《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）一书的评价如下：“在高斯完成这本划时代巨作《算术研究》之前，所谓数论其实只是搜罗许多孤立研究的成果，……因为高斯在《算术研究》中引进同余的符号概念，这才建构出完整的数论。”发表这本具有代表性的作品时，当年的高斯才仅仅二十四岁。

　　讨论“同余算术”的《算术研究》奠基在同余关系上。如果说p、q两个整数“相对于整数s为同余”时，只有且必须具备的条件就是（p-q）可以被s整除，这样同余关系用数学符号表示的话，写成p ≡q（mod s）。高斯利用这个简单扼要的符号重新诠释并完成先前几年法国数学家勒琼德荷（Marie Legendre）无法完整证明、相当知名的二次互反定理。现有两个不同的质奇数p、q，和以下这两则命题：（1）p为某平方数除以q的余数：数学式写成x≡ p（mod q）；（2）q为某平方数除以p的余数：数学式写成x≡ p（mod q）。根据二次互反定理，如果p和q两者都是“模四余三”的话：即p ≡ q ≡ 3（mod 4），则命题（1）跟命题（2）当中只能有其一为真，否则要么命题（1）和命题（2）都为真，要么两者皆不为真（所谓平方数就是某一数本身的乘积，譬如25 =52就是5的乘积）。

　　因此，两个与“同余算术”相关二次方程式的可解性，就能透过这个定理加以串连。高斯在《算术研究》中用整整一章节的篇幅证明二次互反定理，甚至亲昵地把这个定理称为“黄金定理”“算术的瑰宝”。从高斯一生中总共完成八种不同二次互反定理证明方式的事迹，就不难看出他本身对于这个定理着迷的程度。

　　数学家克罗内克（Leopold Kronecker）说：“一个人，能够在年纪轻轻的情况下，就针对一个全新的数学领域表现出这么有深度又严谨处理手法，这件事实在令人感到相当不可思议。”高斯在《算术研究》中依序呈现定理叙述、证明方式、衍生推论及相关范例的写作方式，被之后许多作者当成仿效的对象，可以说《算术研究》就像是一颗种子，孕育出19世纪许多数论顶尖专家璀璨如花的作品。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现