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　　※102.柯西的《无穷小分析教程概论》

　　柯西（Augustin Louis Cauchy，1789—1857）

　　1823年

　　由格瓦尔（Gregoire）与德诺（Deneux）连手创作的平版印刷柯西肖像。

　　季诺悖论（约公元前445年），发现微积分（约1665年），洛必达的《阐明曲线的无穷小分析》（1696年），安聂希的《解析的研究》（1748年）及拉普拉斯的《概率的分析理论》（1812年）

　　美国数学家瓦特豪斯（William Waterhouse）说过：“19世纪的微积分处于一种微妙的境界；这套数学体系毫无疑问是正确的，能充分了解微积分或对这个主题有所洞见的数学家在那一百年间，几乎可以确保自身的功成名就，可是，却没有任何一位可以清楚说明这套数学体系究竟是如何运作的……直到柯西改变了这一切为止。”柯西这位多产的法国数学家在1823年出版《无穷小分析教程概论》一书，里面除了有微积分的严密发展之外，也有微积分基本定理一个现代证明。透过柯西优雅简洁的写作风格，让微积分两大领域（微分和积分）顺利整合在同一套架构底下。

　　柯西以清楚明确的导数定义作为这本专论的开头。柯西的导师、另一位法国数学家拉格兰吉（Joseph-Louis Lagrange）采用曲线图形的方式表现导数—曲线切线就是该曲线的导数—因此，拉格兰吉必须先找出导函数才能更进一步求得导数。霍金对此评论道：“柯西的做法优于拉格兰吉太多了。柯西把函数f在x轴上的导数定义成当i逼近于0，Δy/Δx=[f（x+i）-f（x）]/i这个差商的极限值，也就是我们现代非几何方式定义的导数。”

　　透过类似手法，柯西以厘清积分概念的方式呈现出微积分基本定理，说明为什么我们可以针对任一连续函数f计算出f（x）在x介于a到b区间内（a≤x≤b）的积分值。更重要的是，根据微积分基本定理，如果函数f在a到b区间内（数学式写成 [a, b]）是可积分函数，并且可以用函数H（x）表示函数f从x=a积分到x≤b的结果时，则H（x）的导函数就一定会是f（x），以数学式表示的话，写成H'（x）=f（x）。

　　用瓦特豪斯的结论作为结尾：“柯西其实并没有设立什么新的理论基础，他只是把所有灰尘清除干净，好让微积分完整又富丽堂皇的样貌显露出来而已……” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现