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　　※200.外边界撞球台

　　纽曼（Bernhard Hermann Neumann，1909—2002）莫瑟（Jürgen Moser，1928—1999）史瓦兹（Richard Evan Schwartz，1966—）

　　1959年

　　史瓦兹指出，以潘洛斯风筝（图中心位置的橘色多边形）为主体的外边界撞球台，会动态发展成变化多端的铺砖图案；图中每个着色的多边形区域，显示出这条路径在这些区域所形成的端点。

　　柏拉图正多面体（约公元前350年）及潘洛斯铺砖法（1973年）

　　外边界撞球台（Outer Billiards, OB）的概念发源于德国出生的英国数学家纽曼在20世纪50年代所提出的想法，另一位德裔美籍数学家莫瑟，则在20世纪70年代将OB普及化为行星运动的一种简化模型。读者们如果也想动手做实验的话，请先画出一个多边形，并在多边形外部找出一点x 作为撞球的起点。接着让这颗撞球以直线运动方式经过多边形的一个顶点后，继续行进到另一点x 使得该顶点恰好位于x 与x 的中点。接下来，请用相同步骤以顺时针方向往下一个顶点前进。

　　纽曼提出的问题是：这样一条围绕着多边形的轨道会不会是无法封闭的图形，以致这颗撞球将永无止境地运动下去？对正多边形而言，这条路径一定会形成封闭的轨道，不会绕着绕着就离正多边形越来越远；如果该多边形的边长是有理数（亦即可以用分数表示的长度）的话，这条路径不但封闭而且还具有周期性，会让撞球最终回到原先的出发点。

　　2007年，布朗大学的史瓦兹终于利用潘洛斯铺砖法中被称为潘洛斯风筝的四边形，证明纽曼的外边界撞球台有可能在欧几里得平面上形成无法封闭的轨道。史瓦兹同时发现会有一个封闭的周期性轨道，在三个较大的八边形区域中不断绕行，其他区域则会以无法封闭的轨道形式，逐渐收敛成一组特定的点集合。就跟其他近代的数学证明一样，史瓦兹也是依赖计算机才逐渐完成一开始的证明。

　　将焦点移回纽曼身上。纽曼在1932年取得柏林大学的博士学位，当希特勒在来年掌权后，纽曼意识到自己犹太人的身份将招致危险，因此，先逃抵阿姆斯特丹后，再转往剑桥大学任职。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现