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　　※198.球面翻转

　　斯梅尔（Stephen Smale，1930—）莫杭（Bernard Morin，1931—）

　　1958年

　　上图—塞冈（Carlo H.Sequin）用实体模型展示其中一个翻转球面的数学阶段（绿色部分表示原先在外部的球面，红色部分表示原先在内部的球面）。下图—如今数学家已经清楚知道该如何完成球面翻转的工作，不过在许多年以前，可没有哪位拓扑学家能够完成这个艰巨的几何工程。

　　莫比乌斯带（1858年），克莱恩瓶（1882年）及波以曲面（1901年）

　　拓扑学家多年以来都知道理论上有办法把一颗球的内、外面翻转，可是究竟该如何着手却一点概念也没有，直到研究人员有了计算机绘图这项工具后，数学暨绘图专家麦克斯（Nelson Max）才总算用一则动画影片呈现该如何翻转球面。麦克斯这部名为《球面翻转》（Turning a Sphere Inside Out）的影片完成于1977年，主要是根据法国失明的拓扑学家莫杭于1967年所提出的研究成果，整部影片聚焦在如何让一个表面在不打洞、没皱折的情况下，穿越自己以完成翻转的过程。1958年以前的数学家们都认为此题无解，直到斯梅尔在那一年提出不同的证明方式，才改变了所有人的看法，但那个时候，还没有图像可以清楚说明整个翻转过程到底是怎么办到的。

　　我们在此所讨论的翻转球面，可不是把一个扁平的海滩球从充气口翻面后再重新打气进去，相反地，我们探讨的可是一个没有洞的球体。数学家们设法把一颗球体模拟成一片薄膜，用不断延展的方式在不撕破、不扭尖、不弄皱的条件下自体穿越，也就是为了避免这些破坏球面的工作，才使得翻转的过程更加困难。

　　数学家们在1990年下半叶更进一步地发现几何上的“优选”途径—在球面翻转过程中，以最省力的方式扭转整颗球。这个优选的翻转方式已经成为Optiverse这部彩色计算机动画当中的主题，不过，影片中所陈述的原理无法比照办理地把一颗现实生活中表面封闭的球体内、外翻转，毕竟现实的球体并不是用可自体穿越的材质打造，所以，除了打个洞让球面翻转外，别无他法。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现