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　　※238.蝶形线

　　费伊（Temple H.Fay，1940—）

　　1989年

　　很多代数曲线与超越曲线都具有对称、叶状、波瓣的外观或带有渐进线的美感。由费伊所提出的蝴蝶曲线可以用方程式ρ=ecosθ-2cos（4θ）+sin5（θ/12）表示之。

　　谐波图（1857年）

　　参数化的工作，是用一组方程式表示一堆数量，就好像函数和自变量之间的关系一样。当平面上曲线的每一点坐标位置（x, y）如果能用变量t的函数值加以表达时，我们就称之为参数化的曲线。以直角坐标圆的标准方程式为例：x+y=r，其中r是圆的半径，我们可以将之改写成参数化的方程式：x=r·cos（t），y=r·sin（t），其中0 ＜ t≤360 °，或0 ＜t≤2π 弪。利用计算机绘图时，计算机程序会逐渐改变t值并把所有获得的坐标位置（x, y）串连起来。

　　因为某些特定几何形式实在难以简化成单一方程式──其手法好比上述圆形的例子，所以，数学家和计算机艺术家通常会依靠参数化的手法呈现。以锥形螺旋为例，我们可以改用x=a·z·sin（t），y=a·z·cos（t），z=t/（2πc），其中a，c为两个常数，画出这个现代社会某些天线所采用的锥形螺旋造型。

　　很多代数曲线与超越曲线都具有对称、叶状、波瓣的外观或带有渐进线的美感，由南密西西比大学费伊所开发的蝶形线就是其中一种美观的复杂图形。蝶型线的方程式可以用极坐标表示：ρ=e-2cos（4θ）+sin（θ/12），描出这条方程式所有点的轨迹，就会看见一只蝴蝶的图案，ρ这个变量就是移动轨迹上每一点和原点之间的距离。自从蝴蝶曲线在1989年首次展现在世人面前之后，不论是学生或数学家们都会对这个曲线相当感兴趣，更重要性的是，这个图形还诱发学生们采用另一条方程式 ρ=e-2.1cos（6θ）+sin（θ/30）搭配更长的重复周期进行尝试性的实验。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现