您可以在百度里搜索“数学之书：数学史上250个里程碑式的发现 艾草文学(www.321553.xyz)”查找最新章节！

　　※193.海岸线悖论

　　理查德森（Lewis Fry Richardson，1881—1953）曼德博（Benoit Mandelbrot，1924—）

　　1950年

　　如果用越来越短的量尺丈量英国海岸线的话，得到的结果会越来越趋近于无限大，这项“悖论”告诉我们大自然如何在某些范围的测量尺度上，展现出分形维度的特征。

　　魏尔斯特拉斯函数（1872年），科赫雪花（1904年），郝斯多夫维度（1918年）及分形（1975年）

　　如果有人打算丈量一国的海岸线或是国与国之间的边界时，他会发现测量的结果与单位量尺的长度息息相关。如果单位量尺的长度越来越短，也就越来越能针对海岸线微小变化的地方提高测量的敏感度，而且就理论上而言，当量尺的单位长度越来越趋近0时，可以量得的海岸线长度就会越来越接近无限大。英国数学家理查德森在试图研究国界特性与国家间兵戎相向有何关连性的时候（他发现一个国家爆发战争的可能，与其邻国的数目有一定比例关系），一并观察到海岸线悖论这个现象。法裔美籍数学家曼德博借由理查德森的研究成果，指出量尺单位长度（ε）与量得的海岸线总长（L）之间，可以用分形维度的参数D加以表达。

　　我们可以透过单位量尺长度 ε 与围绕丈量对象所需量尺数N之间的研究，理解参数D的意义。以一个圆形一般的平滑曲线为例，我们可以得到以下的等式关系：N（ε）=c/ε，其中c是一常数。如果是以海岸线这种分形曲线为例的话，上述等式关系需修正成：N（ε）=c/εD，接着在等式两边都乘以 ε 后，新的等式关系就能用所有量尺长L（ε）=ε/εD来表示。参数D的本质和传统维度的定义差不多（直线的维度是1，平面的维度是2），只不过D可以是分数。因为海岸线在不同比例尺下都呈现盘旋缭绕的状态，看起来有点“填满”成平面的样子，所以，它的维度介于直线与平面之间。而所谓分形结构意指在不断放大检视图案后，永远会看到其中越来越精密的细节部分。曼德博还算出英国海岸线的分形维度D =1.26。当然，在现实生活中是不可能真正用长度极短的量尺丈量物体，这项“悖论”的主要意义，在于告诉我们大自然如何在某些范围的测量尺度上，展现出分形维度的特征。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现