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　　※143.波以曲面

　　波以（Werner Boy，1879—1914）莫杭（Bernard Morin，1931—）

　　1901年

　　尼兰德（Paul Nylander）绘制的波以曲面，一个单面无边的物体。

　　最小曲面（1774年），莫比乌斯带（1858年），克莱恩瓶（1882年），球面翻转（1958年）及威克斯流形（1985年）

　　德国数学家波以在1901年发现波以曲面。波以曲面就跟克莱因瓶一样是单面无边的曲面。波以曲面无法定义方位，意指二维空间的对象可以在波以曲面内部找到环绕一圈后回到原点的路径，却会在回到原点后发现左、右边的定义与出发前恰恰相反；这种无法定义方位的特性，也见诸于克莱恩瓶与莫比乌斯带上。

　　根据正式定义，波以曲面是在三维空间内隐没、不具有扭点（pinch point，也写成singularity）的射影平面。我们可以用几何模式创造出波以曲面，其中一种方法是把一块圆盘拉长后，按照莫比乌斯带的原理连接圆盘边界。在这个过程中，波以曲面会有自体穿越的现象，但是，却不能被撕开或是形成扭点。很难以想象的说明其实就算是透过计算机绘图，也都只能帮助研究人员大概感受一下波以曲面的形状而已。

　　波以曲面是三重对称结构，换句话说，可以找出一条对称轴让波以曲面旋转120°后维持同样的形状。有趣的是，虽然波以有办法画出各种不同形式的波以曲面，但是，他却不确定如何用方程式（也就是使用参数模型的方式）加以表达。直到1978年，法国数学家莫杭才利用计算机找出第一个参数化的方程式。莫杭年幼时就两眼失明，不过，却在数学领域功成名就。

　　数学新闻记者杰克森（Allyn Jackson）表示：“不但没有因为双眼视力不如常人而自怨自艾，甚至可以说是失明强化了莫杭的能力。……一般人不容易想象几何结构的其中一个原因，是因为我们通常只注意到表面，却看不到内部可能非常复杂的构造。……由于莫杭已经非常习于用触摸的方式接收信息，所以任何模型只要让他把玩上几小时，就算经过多年以后，他还是能保有其形状的鲜明记忆。” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现