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　　※144.理发师悖论

　　罗素（Bertrand Russell，1872—1970）

　　1901年

　　所谓理发师悖论，意指镇上有一位男理发师每天都会替镇上每一位不自己动手刮胡子的男人刮胡子，无一例外；那么，这位理发师到底有没有替自己刮胡子？

　　季诺悖论（约公元前445年），亚里士多德滚轮悖论（约公元前320年），圣彼得堡悖论（1738年），策梅洛的选择公理（1904年），《数学原理》（1910年—1913年），巴拿赫─塔斯基悖论（1924年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），哥德尔定理（1931年），图灵机器（1936年），生日悖论（1939年），纽康伯悖论（1960年），柴廷数 Ω（1974年）及巴兰多悖论（1999年）

　　英国哲学家暨数学家罗素在1901年揭示一种可能迫使集合论必须全盘修正的矛盾状况，说明这种矛盾状况的其中一种版本称为理发师悖论—镇上有一位男理发师，他每天都会替镇上每一位不自己动手刮胡子的男人刮胡子，无一例外。那么，这位理发师到底有没有替自己刮胡子？

　　依照前述的条件分析，这位理发师似乎只有在他不替自己刮胡子的时候，替自己刮胡子！乔伊斯（Helen Joyce）说：“顺着这个悖论延伸下去的后果将无法想象，可能得到所有数学理论都像是沙滩上的城堡一样缺乏稳固基础，所有的数学证明都不再可信。”

　　罗素提出这项悖论的原型，旨在探讨“包含所有集合的集合本身到底是否也属于一种集合”。有很多集合（R型集合）本身并不是集合内的元素—例如，“包含所有立方体”的集合本身并不是个立方体；反之，“包含所有集合的集合”，或者是“包含所有一切除了立方体之外元素的集合”这类集合（T型集合）本身就是集合内的元素之一。所有集合若非属于R型就会属于T型，之间没有灰色地带可言。不过，罗素却怀疑是否存在一种“包含所有集合的集合、但是本身又不属于集合”的S型集合，此时既不能说S型集合也是一种集合，也不能说S型集合不是一种集合。罗素清楚知道除非提出更严谨的集合理论，否则将无法避免上述混乱又矛盾的状况。

　　其实，只要直接宣告“根本没有这样一位理发师的存在”，就可以很简单地反驳理发师悖论。尽管如此，罗素提出这个悖论却有助于厘清集合论的定义形式，德国数学家哥德尔就引用类似的概念提出不完备理论，英国数学家图灵也发现罗素的论证非常适用于说明不完全问题的不可决定性，一个用以探讨计算机程序会不会在有限步骤内执行完毕的评估方式。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现