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　　※104.非欧几里得几何

　　罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856）鲍耶（János Bolyai，1802—1860）黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）

　　1829年

　　这是雷依斯利用双曲线拼贴而成一个非欧几里得几何的例子。艺术家埃舍尔也按非欧几里得几何原理做实验把整个宇宙压缩在一块面积有限的盘子上。

　　欧几里得《几何原本》（公元前300年），奥玛·海亚姆的《代数问题的论著》（1070年），笛卡儿的《几何学》（1637年），射影几何（1639年），黎曼假设（1859年），贝尔特拉米的拟球体（1868年）及威克斯流形（1985年）

　　自欧几里得以后，利用所谓平行公设似乎可以很合理地描述我们所处三度空间的运作方式。根据这项公设，给定一条直线和一个不在直线上的点，则穿过该点只存在唯一一条不会与直线交会的平行线。

　　不过随着时代演进，跳脱这项公设限制开创非欧几里得几何空间的构想也产生了戏剧化的成果。爱因斯坦对于非欧几里得几何的评价是：“我非常看重用这种方式所诠释的几何学，如果我无法熟练运用这种几何学的话，恐怕这辈子就无法完成相对论了。”这话说得一点也没错，在爱因斯坦的广义相对论中，靠近太阳或行星这样重力场的环境中，就是用非欧几里得几何表现出时空之间相互扭曲、变形的关系。想象一颗保龄球沉入一张橡皮板中，然后在这个被往下拉长的橡皮板边上摆上一粒弹珠并横向推一下，则这粒弹珠将会以轨道形式绕着保龄球转一会儿，就好似行星绕着太阳旋转一样。

　　俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在1829年出版《论几何原理》（On the Principles of Geometry），其中假设若平行公设不成立时，该如何建立一个具有完美地兼容的几何想法；而其实匈牙利数学家鲍耶早罗巴切夫斯基几年，就探讨过类似非欧几里得几何的概念，只是鲍耶的想法一直拖到1932年才付印成册。德国数学家黎曼在1854年证明几种非欧几里得几何在给定适当空间维度下存在的可能性，因而把上述两位数学家的发现一般化。黎曼曾经下过脚注说：“非欧几里得几何的价值在于解放我们既定的成见，好为将来需要在非欧几里得几何中探索物理定律的情况做好准备。”之后，当爱因斯坦提出广义相对论的时候，也就是黎曼预言实现的时候。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现