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　　※105.莫比乌斯函数

　　莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790—1868）

　　1831年

　　莫比乌斯的肖像，取自莫比乌斯《作品集》的封面页。

　　为质数而生的蝉（约公元前100万年），埃拉托斯特尼筛检法（公元前240年）及安德里卡猜想（1985年）

　　莫比乌斯在1831年提出了看似非常古怪、我们现在写成 μ（n）的莫比乌斯函数。想要了解这个函数，不妨先想象把所有整数放进三个大邮筒中，第一个大邮筒上写着大大的0、第二个写着+1、第三个写着-1。莫比乌斯把所有1除外的平方数（平方数是指4、9、16这种另一个整数平方后的数字）的倍数通通放进写着0的大邮筒，包括 {4, 8, 9, 12, 16, 18,…} 这些数字，譬如 μ（12）=0，因为12是平方数4的倍数，所以放进0号邮筒。

　　在-1号邮筒中，莫比乌斯把所有由奇数个质因子所构成的数字放入其中；譬如5 × 2 ×3=30，因为30只有三个质因子，所以放在-1号邮筒。所有质数本身当然也在这个邮筒里，因为质数本来就只有自己一个质因子（1除外）而已，因此，μ（29）=-1，而且 μ（30）=-1。一个整数会落入-1号邮筒的概率是3/π，就和落入-1号邮筒的概率一模一样。

　　最后，莫比乌斯把所有由偶数个质因子所构成的数字（像是6，因为2 × 3 =6）放进+1号邮筒中；为了补足所有整数数字，莫比乌斯指定把1也放进这个邮筒，所以在+1邮筒里的数字包括 {1, 6, 10, 14, 15, 21, 22,…}。则神奇莫比乌斯函数的前20项就可以写成 μ（n）={1,-1,-1,0,-1,1,-1,0,0,1,-1,0,-1,1,1,0,-1,0,-1,0 }。

　　莫比乌斯函数神奇之处在于科学家发现它在诠释次原子粒子的各种物理理论相当实用。莫比乌斯函数当然还有一些其他迷人的特质，像是它不可预测的习性至今依旧无解，还有许多优雅的数学特性都跟 μ（n）脱离不了关系。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现