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　　※115.谐波图

　　利萨茹（Jules Antoine Lissajous，1822—1880）布雷克本（Hugh Blackburn，1823—1909）

　　1857年

　　莫斯可维奇（Ivan Moscovich）所绘制的谐波图。莫斯可维奇在20世纪60年代发明一种可以减少摩擦损失、将钟摆与垂直表面相连接、绘制大型谐波图机械装置。莫斯可维奇这位知名的谜题设计者曾经被关押在奥斯威辛集中营，直到1945年才被英军所救。

　　微分分析机（1927年），混沌理论与蝴蝶效应（1963年），池田收束（1979年）及蝶形线（1989年）

　　谐波图是维多利亚时代的一种艺术装置，通常是由两个钟摆的交互作用描绘出谐波图图形，可以分别从艺术或数学观点进行分析研究。在常见的绘图装置中，其中一个钟摆控制笔的移动，另一个钟摆负责晃动置放于平台上的纸。两个钟摆共同交互作用所产生复杂的动态效果，最终会因为摩擦力的影响而逐渐归结到单一定点，在此之前，每次画笔摆荡所描绘出的轨迹，其长度都会比前一次摆荡所画出的轨迹略短，使得整个图形呈现出蜘蛛网般波动的外观。只要改变钟摆摆荡的频率和相交的夹角，就可以产生出变化无穷的图案。

　　图形最简单的谐波图可以归类成利萨茹曲线。用以描述（假定无摩擦状态下）复杂谐波运动的利萨茹曲线方程式写成x（t）=Asin（at+d），y（t）=Bsin（bt），其中t表示时间，A和B分别表示两钟摆的振幅，a与b的比表示相对频率，d表示夹角的相位差。光是这几个有限的参数就足以产生许多美观的花纹。

　　第一个谐波图诞生于1857年，当时法国数学家暨物理学家利萨茹把两面镜子粘在两把调音叉上，然后用不同频率摆动两把调音叉好让镜子反射出光波，这些错综复杂的波纹还博得围观者的一致好评。

　　至于第一位使用现在习以为常的钟摆画出谐波图的人，就要归功于英国数学家暨物理学家布雷克本了。此后一直到今天，各种仿效布雷克本装置而诞生的谐波图版本可说是不胜枚举。有些更复杂的谐波图甚至要动用到三个以上交互摆动的钟摆。在我的小说《天国来的病毒》（The Heaven Virus）中也描述了一种滑稽诡异谐波图的制作方式：“一枝笔画过一个又一个的平台，直到画过十个平台为止。” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现