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　　※169.希尔伯特旅馆悖论

　　希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）

　　1925年

　　在希尔伯特的大旅馆中，就算所有房间已经通通客满了，但是旅馆柜台一定还是可以安排客人入住；这是怎么办到的？

　　季诺悖论（约公元前445年），康托尔的超限数（1874年），皮亚诺公理（1889年）及希尔伯特的二十三个问题（1900年）

　　在某个有五百间客房的旅馆中，每个房间都有旅客入住；在下午时分抵达旅馆的你被告知已经没有多余的客房，正当你打算无助地离开时，希尔伯特旅馆悖论登场了。想象一下这间旅馆有着无数间客房，同样每一间也都住了旅客；尽管旅馆已经客满了，柜台还是可以挪出一间客房给你。这怎么可能呢？更奇妙的是，就算同一天有数不清的旅客为了参加研讨会而下榻同一间旅馆，柜台同样可以满足所有人的要求安排房间，借此机会赚上一笔！

　　德国数学家希尔伯特在20世纪20年代提出这个悖论，用以描述无限这个概念不可思议的特质。让我们来看看你究竟是如何住进希尔伯特的大旅馆。当你只身一人抵达客满的旅馆时，柜台将原本住在一号房的客人挪到二号房、把原本住在二号房的客人挪到三号房……以此类推，所以现在一号房就成为你的专属客房了。而为了安排陆续抵达且无法尽数的旅客，柜台就把已经入住的旅客通通移到偶数号的房间（原一号房改成二号房，原二号房成四号房，原三号房改成六号房……），再把这些晚到的旅客通通安排进所有空出来的奇数号码房。

　　康托尔的超限数理论可以用来解释希尔伯特旅馆悖论，亦即尽管在一间正常的旅馆中，奇数号码的房间数一定小于旅馆的全部客房数，但是在一间有着无数客房的旅馆中，奇数房的“数量”可不见得小于旅馆全部客房的“数量”（数学家使用“基数”这个词语比较这些以无限客房为元素所组成的集合大小）。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现