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　　※074.大数法则

　　雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）

　　1713年

　　这是一枚瑞士于1994年所发行、用以纪念数学家雅各布·伯努利的邮票，上面同时有他所提出的大数法则的图形和公式。

　　骰子（约公元前3000年），常态分配曲线（1733年），圣彼得堡悖论（1738年），贝氏定理（1761年），布丰投针问题（1777年），拉普拉斯的《概率的分析理论》（1812年），本福特定律（1881年）及卡方（1900年）

　　瑞士数学家雅各布·伯努利于1713年完成了大数法则的证明，并在他过世后发表在《猜测的艺术》一书上。大数法则是属于概率论的定理，描述随机变数会随着时间拉长而呈现稳定的分布状态，像是当某项实验的观测次数（就以丢铜板为例好了）累积到足够多的数量时，实验结果（出现人头的总次数）的分布状态，就会相当接近概率的估算，在这个例子中就是0.5。用更正式的说法表示的话，凡给定一连串独立且单一分布的随机变量及其有限母体的平均数和变异数，则这些观察的平均数将会相当接近理论上母体的平均值。

　　想象你要掷出一颗标准的六面骰子，可以预期出现点数的平均值应该很接近概率推算的平均值，也就是3.5。再想象你前三次掷出的结果分别是1，2，6，点数平均值是3；只要你持续不断地掷骰子，出现点数的平均值终究会越来越接近期望值3.5。赌场经营者爱死了大数法则，因为他们可以估算出长期稳定的结果并提出相对应的营运计划，保险业者也需要大数法则精算意外可能造成的损失。

　　在《猜测的艺术》中，雅各布·伯努利示范如何估算某瓮不知黑、白球数量的母体中，白球所占有的比例。首先，每次从瓮中任意取出一球，并且“随机地”往瓮里补上另一颗球，重复这个动作几次之后，就可以用被抽出球堆里面白球所占的比例，推估原本瓮中的白球比例；只要重复的次数够多，他就可以得到够精确的估计值。雅各布·伯努利的批注如下：“只要能持续不断地观察所有事件，直到地老天荒（最终的概率也因此倾向成为完美的固定常数），则世界上所有事物都会以固定的比发生，……就算发生让人最感到意外的事件，我们也会把这起事件认定为是一种……既定的宿命。” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现