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　　※138.质数定理的证明

　　高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865—1963）瓦莱普桑（Charles-Jean de la Vallée-Poussin，1866—1962）李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885—1977）

　　1896年

　　图中粗体字所显示的就是质数，藉以印证“质数在整个自然数系看起来就像是杂草一样……没有人有办法预测下一个质数会从哪边冒出来”。虽然1过去都被视为是一个质数，不过当今的数学家普遍倾向认定2才是第一个质数。

　　为质数而生的蝉（约公元前100万年），埃拉托斯特尼筛检法（公元前240年），哥德巴赫猜想（1742），正十七边形作图（1796年），高斯的《算术研究》（1801年），黎曼假设（1859年），布朗常数（1919年），吉伯瑞斯猜想（1958年），乌拉姆螺线（1963年），群策群力的艾狄胥（1971年），公钥密码学（1977年）及安德里卡猜想（1985年）

　　数学家札吉尔（Don Zagier）说过：“尽管质数的定义简单，并扮演为自然数奠基的角色，质数在整个自然数系看起来就像是杂草一样……没有人有办法预测下一个质数会从哪边冒出来；……但是让人更感到惊奇的，是质数所展现出不可思议的规律习性，仿佛它们的行为不但受到律法规范，它们本身也像军队般一样，恪遵纪律的要求。”

　　我们用π（n）这个符号表示所有小于或等于给定数n的质数个数。1792年，当时才15岁的高斯就致力于研究质数会在哪边出现的课题，并且认为π（n）的值相当接近n/ ln（n），其中ln代表着自然对数。根据这项质数定理推论下去，会得到第n个质数的值也会相当接近nln（n）；只要n越趋近于无限大，这个逼近值的误差就会趋近于0。高斯之后还提出更精确的估算，指出π（n）~Li（n），并用Li（n）表示dx/ ln（x）从2积分到n的结果。

　　时间来到1896年，法国数学家阿达马和比利时数学家瓦莱普桑分别独力完成高斯定理的证明。数学家根据实际数值验证的结果猜测π（n）应该永远都小于Li（n），可是李特尔伍德却在1914年证明如果可以无止尽地找到够大的n，则π（n）和Li（n）两者之间的大小关系也会无止尽地交替下去。南非数学家史奎尔斯（Stanley Skewes）在1933年证明在n小于10^10^10^34之前，π（n）和Li（n）会产生第一次交会（亦即π（n）-Li（n）=0），10^10^10^34也因此被称作史奎尔斯数，其中“^”这个符号表示次方数的意思；之后的数学家更进一步证明第一次交会的位置大约会落在10316。

　　英国数学家哈代（G.H.Hardy）说史奎尔斯数是“数学史上为了特定目的所使用的最大数字”，虽然这个数字如今已经逐渐失去原本让人感到崇敬的意义。1950年左右，艾狄胥和塞尔伯格（Atle Selberg）连手发现质数定理的初等证明方式—一种在证明过程中只使用实数的证明方式。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现