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　　※147.科赫雪花

　　科赫（Niels Fabian Helge von Koch，1870—1924）

　　1904年

　　科赫雪花的拼贴图案。数学艺术家法绍尔（Robert Fathauer）使用大小不一的科赫雪花才完成这个图案。

　　魏尔斯特拉斯函数（1872年），皮亚诺曲线（1890年），郝斯多夫维度（1918年），门格海绵（1926年），海岸线悖论（约1950年）及分形（1975年）

　　学生们在课堂上学习分形时，科赫雪花通常是他们接触到的第一个例子，这个例子也是数学史上最早被发现的几种分形物体之一。这个变化多端的图形源自瑞典数学家科赫在1904年所完成的《论基本几何所建构之无切点连续曲线》论文中。另一个类似的图形叫做科赫曲线，画出两种图案的步骤一模一样，差别只在于科赫曲线是以线段做为起点，而科赫雪花是用等边三角形。

　　只要用递归的方式折弯一条线段，看着它在过程中不断产生新的边界线，就能画出充满皱折的科赫曲线。想象把一条线段区分成三等分，接着把中间那一段替换成两条长度与原本线段三等分后等长的线段；这时，原本的线段会变成一个由四条等长线段所构成的“V”字楔形外观（亦即“折出”等边三角形的其中两边），再针对这四条线段重复上述的步骤。

　　如果原本线段的长度为1英寸，则上述步骤重复n次后所产生的科赫曲线长度会是（4/3）英寸；如果重复上述步骤好几百次以后，将产生一条比可以观测到的宇宙直径更长的科赫曲线。说到底，科赫曲线“最终”的长度会是无限大，并覆盖住二维空间的一部分，因此，其分分形维度大约是1.26。同理，虽然科赫雪花的边界会变成无限长，但是其覆盖面积却是有限的（2√3 s2）/5，其中s表示原等边三角形的边长和。用更简单的说法表示的话，科赫雪花的面积是原本等边三角形的8/5倍。注意：一个函数在折点没有（确定的）切线，意即不可微分（没有唯一导数）。换句话说，科赫雪花虽然是一条连续曲线，但是曲线上却没有任何一点可以微分（因为科赫雪花到处都是尖折点）。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现