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　　※159.郝斯多夫维度

　　郝斯多夫（Felix Hausdorff，1868—1942）

　　1918年

　　郝斯多夫维度可以用来测度分形集合的空间维度，像是这张由尼兰德（Paul Nylander）创作成、错综复杂的分形图案。

　　皮亚诺曲线（1890年），科赫雪花（1904年），海岸线悖论（约1950年）及分形（1975年）

　　数学家郝斯多夫在1918年提出郝斯多夫维度的想法，可以用来测量分形集合的空间维度。在日常生活中，我们习于接触拓扑维度为整数的事物，像是我们认定平面属于二维空间，是因为平面上任何一点都可以用独立的两个参数表达，譬如该点相对于x轴与y轴的位置。而单一条直线当然就属于一维空间。

　　郝斯多夫维度用另一种方式界定某些更复杂集合或曲线的空间维度。假设有一条蜿蜒曲折的曲线可以绕行覆盖住一部分平面的话，该曲线的郝斯多夫维度不但比1大，而且会随着它覆盖越多平面范围的可能，逐渐朝2不断逼近。

　　像皮亚诺曲线这种能够无限回旋到空间塞满的曲线，其郝斯多夫维度值就是2。如果要用郝斯多夫维度测量不同海岸线的话，其数值区间可以从南非海岸线的“1.02”变化到大不列颠西岸的“1.25”。就实际应用层面而言，分形的其中一种定义方式，就是判断某一集合的郝斯多夫维度是否超过一般的拓扑维度；使用量化的分形空间维度界定图案粗糙、栉比鳞次与变化多端的程度，已经广泛运用在艺术、生物学与地质学等领域。

　　担任波昂大学数学系教授的郝斯多夫是一位犹太人，他不但是现代拓扑学奠基者之一，同时也以泛函分析、集合论的相关研究闻名于世。郝斯多夫于1942年即将被纳粹送往集中营之前，跟太太与小姨子三人一起自杀身亡。郝斯多夫在自尽的前一天留下一封遗书给他的朋友，上面写着：“请原谅我们。希望你和所有我们共同的朋友都能够活得更好。”很多用来测度错综复杂的集合究竟有多少郝斯多夫维度值的方法，其实出自另一位犹太人、俄罗斯数学家贝西科维奇（Abram Samoilovitch Besicovitch）之手，因此有时候我们会看到“郝斯多夫—贝西科维奇维度”这样的用法。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现