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　　※110.卡塔兰猜想

　　卡塔兰（Eugène Charles Catalan，1814—1894）米哈伊列斯库（Preda Mihǎilescu，1955—）

　　1844年

　　比利时数学家卡塔兰的照片。卡塔兰在1844年提出8和9是唯一一对连续整数次方数的猜想。

　　费马最后定理（1637年）及欧拉多边形分割问题（1751年）

　　看似简单、实则牵涉整个数系的困难挑战，会让最聪明的数学家们也丈二金刚摸不着头脑，费马最后定理就是其中一例，一直要等到几世纪过后，这个与整数有关的简单猜测才被证明成立与否。当然还有一些问题，就算集结人力与计算机的各种努力，至今却依旧无解。

　　在正式进入卡塔兰猜想（Catalan Conjecture）这个主题之前，请读者先想象一下所有大于1的整数平方数列，亦即4、9、16、25、…，以及所有大于1的整数立方数列8、27、64、125、…，接着把这两个数列并在一起，可得：4、8、9、16、25、27、36、…。各位读者，你们有注意到在合并数列中，只有8（2的立方）和9（3的平方）是两个连续的整数吗？1844年，比利时数学家卡塔兰猜测这两个数字是唯一一对连续的整数次方数！换句话说，如果存在一对连续整数次方数的话，那就相当于证明x-y=1存在一组（x、y、p、q）皆不为1的整数解；卡塔兰猜测唯一一组整数解就是3-2=1。

　　卡塔兰猜想是一段多姿多彩、极具特色的历史。早在卡塔兰之前数百年，另一位法国数学家杰贺森（Levi ben Gerson）—他的拉丁名Gersonides或是Ralbag可能比较常见—就提出过类似、但条件更严格的猜想：2和3的次方数唯一相差1的情况只存在于3 与2 之间。杰贺森本人是一位知名的拉比、哲学家暨数学家，也是钻研《塔木德》（Talmud）经文的专家。

　　现在让我们把时间快转到1976年。荷兰莱顿大学研究人员泰德曼证明出如果存在其他连续整数次方数的话，这些整数解的个数一定是个有限的数字。最后，德国帕特伯恩大学的米哈伊列斯库终于在2002年证明卡塔兰猜想是正确的。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现