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　　※124.康托尔的超限数

　　康托尔（Georg Cantor，1845—1918）

　　1874年

　　这是一张大约摄于1880年、康托尔和太太的合照。康托尔关于无限的开创性想法一开始遭致广大的批判，他长期严重的忧郁症病情可能因此恶化。

　　亚里士多德滚轮悖论（约公元前320年），超越数（1844年），希尔伯特旅馆悖论（1925年）及无法证明的连续统假设（1963年）

　　德国数学家康托尔奠定了现代集合论的基础，并且向世人展示超限数这个虽然不容易理解、可是却能说明无限集合也有相对“大小”的观念。最小的超限数称为aleph-nought，写成א0，意指所有整数的集合。如果所有整数是一个无限集合的话（集合中的元素个数即为א0），我们能否找到层次更高的无限集合？很明显地，就算我们知道所有整数、所有有理数（所有可以用分数型态表示的数字）和所有无理数（所有像是√2这种无法写成分数型态的数字）的集合都包含了无限个元素，但是就直观上的判断而言，所有无理数的元素个数总应该多过所有整数或所有有理数的元素个数。同理，所有实数的元素个数（即同时包含有理数与无理数的所有元素）显然又比整数的元素个数大上许多。

　　康托尔以超限数表示无限集合也有大小之别的想法实在太过震撼，刚提出时招致各方广大的批判—很可能因此导致康托尔陷入严重的情绪低潮并多次进出疗养院—直到日后被认可为相当基本的理论为止。康托尔当时也在上帝的协助之下，提出超越超限数的“绝对无限”概念，他在文章中写道：“我毫无疑问地接受超限数存在的事实并乐在其中。我可以感受到这是来自上帝的指引，指引我这二十多年来不断研究超限数之间的差异性。”1884年，康托尔在一封写给瑞典数学家米塔格莱弗勒（Gösta Mittag-Leffer）的信上澄清自己并不是这些新观念的创造者，最多只能称得上是播报员，上帝才是这些创意想法的源头，并且把如何表达相关概念的写作任务交付给自己，如此而已。康托尔说，他知道超限数一定存在的原因是：“上帝就是这样告诉我的”；再者说，无所不能的上帝怎么可能只创造出有限的数字呢？数学家希尔伯特对于康托尔研究成果的评论为：“数学天才最细致的成品，也是纯然人类脑力思考所能达到最至高无上的境界之一。” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现