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　　※183.外接多边形

　　凯斯纳（Edward Kasner，1878—1955）纽曼（James Roy Newman，1907—1966）

　　约1940年

　　最中间的圆如同条目中所提到的过程，被多边形与其他圆形交替包覆着（多边形边界使用较粗的红色线条，纯然是为了增加艺术效果而已）；我们有办法重复这个模式，让外接圆的面积和一般成人脚踏车的大小一样吗？

　　季诺悖论（约公元前445年），西洋棋盘上的小麦（1256年），发散的调和级数（约1350年），圆周率π的级数公式之发现（约1500年）及布朗常数（1919年）

　　先画一个半径1英寸（约2.5厘米）的圆，然后外接一个等边三角形，接着用另一个圆外接等边三角形，再用一个正方形外接第二个圆。接下来，用第三个圆外接正方形，随后用一个正五边形外接第三个圆；持续不断重复这个过程，每一次外接多边形的边数都只加一，而每一次外接圆都会逐渐扩大以便把先前所有图形组合包覆在内。如果你能够以每分钟增加一个外接圆的速度不断重复上述过程的话，要花多少时间，才能画出一个半径和太阳系一样长的外接圆？

　　用一个又一个外接圆不间断地把所有多边形包覆起来的做法，似乎会让外接圆的半径无止境增加到无限大的程度，然而，这个把多边形与外接圆一直围绕下去的过程，并不会扩大到像太阳系一样大，也不会扩大到像地球一样大，甚至不会跟一般成年人的脚踏车轮胎半径一样大。虽然所有外接圆在初始阶段放大的速度很快，但其半径成长率却会逐渐减缓，并逐渐收敛成一个由无穷乘积可以算出的有限数字：R=1/ [ cos（π/3）×cos（π/4）×cos（π/5）×…]。

　　环绕着R的极限值所产生的诸多争论，或许是这个条目最有趣的地方。上面提到的算式乍看之下并不难算，根据凯斯纳及纽曼两位数学家在20世纪40年代第一次公布的计算成果，R的极限值应该是“12”，另一份发表于1964年的德文文献也提到“12”这个答案。

　　可是另一位数学家鲍肯普（Christoffel J.Bouwkamp）却在1965年，发表一篇论文指出R真正的极限值是“8.7000”，所以，为什么在这之前的数学家会接受“12”这个答案可就值得令人玩味了。附带一提，R正确值的前17个位数如下：R =8.7000366252081945…。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现