『令负数之集为原数另集之负数所成，令减去一数等于加其负数。』

　　『康威证得，减法为加法之逆。夜去昼来，是为第四日。』

　　“加法之后是减法，减去一数就是加上负数，这个简单。”

　　阿基里斯看着海滩上的数轴，上面的数字在她的指尖下一个个诞生。

　　它们按照被创造出来的时间和大小有序排列，看起来就和普通的实数轴没什么太大区别。

　　“1-1，1=（{0}丨空集），-1=（空集丨{0}）。”

　　“两者相加，得到的新数是……咦？”

　　阿基里斯突然眨了眨眼睛，粉色的瞳孔中闪过一丝惊奇的色彩。

　　她一直以为这种新的规则只是在实数的基础上增加了无限大数和无穷小数。

　　但她这时却发现，只是涉及到减法的时候，好像就有一些与常识中不太一样的地方出现了。

　　在普通的标准分析中，1-1=0是毫无疑问的正确结论，一个数减去其自身当然就是等于0。

　　按照这种新的定义规则，1-1得到的数（{-1}丨{1}）。

　　但0却被定义为（空集丨空集）。

　　在这种全新的定义规则下，一个数减去自身的结果不是严格等于0。

　　一手撑着下巴仔仔细细地重新回顾了一遍石碑上的雕文，阿基里斯若有所思地道：

　　“原来如此，这上面写的不是不是小于等于，而是小于或相似于。”

　　“在标准分析的数学中，x≤y且y≤x，就能推出x=y，两个数是严格的相等。”

　　“但在这种新的规则下，这个前提却并不能得到同样的结论。”

　　“这样的话，除了0以外，一个数减去自身并不等于0，不能用＝符号，只能用这个『≡』相似于的符号。”

　　她发现自己似乎想的有些太简单了，以为这种新的定义规则只是为了应对无限大数。

　　虽然引入这一规则主要目的就是为了能定义那些涉及到实无限的数，但全新的基本规则显然也会改变原来常识中的有限数。

　　比如这个在实数范围内并没有的所谓相似于“≡”的性质。

　　阿基里斯一直想着用这种新的规则去创造熟悉的数，整数、分数等等。

　　她却忘了这种规则下的数与自己过往常识中认知的数根本不是一回事。

　　回头重新看去，许多被她下意识忽略掉的新数也都不一样了。

　　比如（{-1}丨空集）和（空集丨{1}）这两个数，它们同样出现在第三日，在1和-1被创造出来之后诞生。

　　根据石头上的规则，这两个数均满足x≤0且0≤x，但定义它们的数集却与0不一样。

　　类似的，还有（{-1/2}丨空集），（{-2}丨空集）等等数也都能满足这个条件。

　　更准确的说法应该是相似于，用符号≡表示。

　　0只有唯一的一个，但相似于0的数却有无限多个。

　　不过目前看起来这种差别也并不太大。

　　至于（{0}丨{0}），它不满足康威的第一条规则“左集中没有一个元素大于或等于右集中的元素”，所以它不是一个数。

　　目光聚焦在第一条规则上，阿基里斯突发奇想地道：

　　“如果不遵循第一条定义数的规则，比如创造一个（{1}，{0}），这东西又会有些什么样的性质？”

　　这肯定不是一个数，它左集中的元素比右集中的元素还要大，在数轴上根本不可能找到它。

　　但它又可以与其他的数比大小。

　　根据第二条规则，甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一小于或等于甲数。

　　将（{1}，{0}）与其他的数比较，比如2=（{1}丨空集）。

　　甲数的左集最大元素是1，小于乙数2，乙数2的右集是空集，不小于或等于甲数。

　　于是就能得到（{1}，{0}）＜2的结论。

　　明明是在数轴上完全找不到的数，却能与普通的数比较大小。

　　这种数未必就完全没有意义了。

　　它和常规的数的关系可能就像是负数和正数、无理数和有理数、虚数和实数的关系一样。

　　负数看起来没有什么对应之物，无理数这种不成比例的量完全只是想象，虚数更是完全不符合常识。

　　但这些纯粹存在于想象中的概念，说不定就能在哪个地方用上。

　　仔仔细细看了一遍石头上的规则，阿基里斯转头看向不远处的烧烤架问道：

　　“根据石头上的这些规则，我似乎无法创造出1/3这样的分数？”

　　既然这种全新的公理规则是实数域的扩张，那应该包含了所有的实数才对。

　　第一天是0，第二天是±1，第三天是±1/2，±2，第四天是1/4，3/4，3/2，3以及各自的负数。

　　到了第n天，总共创造出了2^n-1个数。

　　用这种规则创造分数的方式就好像是芝诺的二分法一样，用新出现的数作为刀刃去切割数轴，得到更多的数。

　　“只是二进制和十进制的区别罢了。”

　　李恒将烤架上仅剩下了一条触手的小生物扔给了蹲在石头前面的阿基里斯。

　　“康威创造数的方式就像芝诺的二分法，使用的其实是二进制，当然只会出现1/2、1/4、1/8这样的分数。”

　　“但这种区别仅在有限的世界有用。”

　　“你现在创造的二进制数，都只是数位有限的二进制数。”

　　“想一想1/3的二进制表示，再想一想0.99……，你觉得这些尚未出现的分数会在哪一天出现？”

　　1/3的二进制表示？

　　阿基里斯一手接过那条香喷喷的触须，张嘴咬了一口，另一只手的指尖在脚下的沙滩上划过。

　　1/3=0.010101……，这是一个无限循环小数。

　　“无穷？实无穷？”

　　是了，第n天创造出了第2^n-1个数字，那么如果n取N0，最终就创造出了2^N0个数。

　　这些尚未出现的十进制分数会在那一日与实数中的那些不可定义数一同诞生。

　　也是在这一刻，阿基里斯发现石头上显现出了新的雕文。

　　『万数创生，无穷日逝，而宇宙现形。夜去昼来，是为第N日。』

　　在第N日，康威创造出了全体实数，一个不可数无限的庞大数字宇宙。

　　第728章 玄极

　　第N日，全体实数在这一天同时诞生，构成了一个体量为不可数无限的宇宙。

　　标准分析中用于定义实数的方法是戴德金分割，用两个有限的有理数之间的空隙去定义实数。

　　按照康威创造的规则，定义1/3的两个数集分别是左集{0.01，0.0101，……}，右集取{0.1，0.11，……}。

　　其中0.01是分数1/4，0.1则是分数1/2。

　　左右两个数集中的每一个数都是二进制下的分数，就像是切割那根万世不竭的木棍一样，不断地将数轴分割成两半。

　　随着无止尽的切割，两个集合中的数越来越多，数轴剩余的长度则越来越短。

　　最终在无穷次步骤过后，左集和右集中都包含了无限个数，创造出了1/3。

　　类似的，根号2和π等无理数也可以用这种方式定义。

　　这种处理方式与康托尔处理实数的方式如出一辙。

　　在研究实数集合时，为了保证每一个数都有唯一的写法，康托尔将1、0.5这类数字都表示成了0.999……0.4999……等等与无理数一致的形式。

　　“好熟悉的感觉。”

　　阿基里斯低头看了看挂在自己胸前的粉白色螺旋钥匙。

　　康威创造实数宇宙的过程就像是一台芝诺机。

　　第一天花费了1秒，创造了2个数字。

　　第二天花费了1/2秒，创造了4个数字。

　　第3天花费了1/4秒，创造了8个数字。

　　但普通的芝诺机只能处理一个无穷序列。

　　康威创造的实数宇宙是芝诺机的升级版，应该称它是二星芝诺机。

　　到这里为止，这种用两个数集定义一个数的规则并不会比普通的规则多出什么新的有趣之处，反而显得多此一举，极为麻烦。

　　“N日，实数诞生，宇宙现形。”

　　“但康威却并没有就此停下。”

　　阿基里斯注视着石头上显现出来的规则，在这条规则的下方还有未尽之语。

　　『后出一无穷数，不及玄极。逝日无穷，由是无穷亦高下有序也。』

　　所谓玄极，指的就是无穷。

　　不及玄极，也就是比无穷大更小，但却仍旧是无穷的数。

　　在普通集合论公理规则定义的基数和序数中，并不存在这样的数。

　　“超实数，用这种新的规则可以定义原本只能用基数和序数衡量的无限大数？”

　　在标准的数学体系中，差别最大的就是有限与无限。

　　自然数、有理数、实数，虽然它们本身的元素数量都是无限的，甚至还分为可数无限和不可数无限两种类型。

　　但这两种无限都只能使用集合论的方式来描述，用基数和序数衡量，与人类日常使用的数之间没有关系。

　　无论是基数运算中的N0+N0=N0、N0×N0=N0，还是序数运算中的1+ω=ω＜ω+1、2×ω＝ω＜ω×2。

　　两者的运算方式对于普通的有限数而言都显得很奇怪。

　　无限就像是一个幽灵，无论是无穷大还是无穷小，都游离在人类常识的世界之外。

　　“在遇到无限的时候，用一对互斥的数集定义一个数的方式就显得有意思起来了。”

　　李恒来到了这块记录着公理规则的漆黑大石头前。

　　“1/3这个数是由两个数集定义的，并且它们都是包含了可数无限个元素的无穷集合。”

　　“既然可以用两个包含了无限个元素的无穷集合定义一个实数，那当然也可以把其他的无穷集合取作左集和右集。”

　　“比如说，在左集中放入全体自然数，创造一个比所有的自然数都更大的数。”

　　有了这种用两个集合定义一个数的基本规则，无限大数就是一个显而易见的结果。

　　在第N日，康威不仅创造出了全体实数，同时还创造出了不在实数域中的超实数。

　　无限大数ω=（｛1，2，3……｝丨空集）

　　左集是全体自然数的集合，右集是虚无的空集。

　　以及与无限大同时诞生的负无限大。

　　-ω=（空集丨｛-1，-2，-3……｝）

　　这里的ω不同于用同样的符号表示的超穷序数，而是一个可以进行普通加减运算的具体的数，就像是1、2等等自然数一样。

　　全新的数轴向着左右两侧无限延伸。

　　这种延伸比普通实数域的潜无限范围更远，它在混沌虚无中开辟了全新的世界，一直延伸到了实无限的世界中。

　　毫无疑问，超实数构成的数轴远比实数轴要更长。

　　如果说可观测宇宙中普通的宇宙大爆炸只是宇宙永无止尽的永恒暴胀留下的一丝微不足道的残影。

　　那么康威从混沌苍茫中创造数字的第N日所发生的事情则是远远凌驾于此上的更高层次的宇宙大爆炸。

　　有了无穷大数，无穷小数自然也就同时诞生了。

　　取右集为｛1，1/2，1/3，……｝，将全体自然数的倒数作为右部，左集取｛0｝，就能得到一个小于一切正实数，却又不为0的无穷小数ε。