类似地，将右集取｛1，1/2，1/4……｝，或者｛1，1/9，1/27……｝等等，同样可以得到无穷小数，存在无穷多种不同的选取方法。

　　全体实数、无穷大数ω、无穷小数ε，它们都在同一天诞生。

　　但第N日并不是终点，只是一个开始。

　　在创造无限大数ω的下一日，诞生了比无限大数更大的数。

　　ω+1=（｛ω，2，3……｝丨空集）

　　它可以化简为

　　ω+1≡（{ω}丨空集）

　　这个数比ω更大，它在数轴上位于ω这个数的右侧。

　　以及一个比无限大数ω小，却又大于所有整数的数。

　　ω-1≡（{1，2，3……}丨{ω}）

　　这个新数在普通的集合论公理规则定义的超穷序数中是不存在的。

　　在这套全新的规则里，无限大数可以像是普通的数一样随意进行加减运算。

　　通过这种方法，可以得到无穷多个小于无穷大ω的无限大数。

　　ω-2≡（{1，2……}丨{ω-1}）

　　ω-3≡（{1，2……}丨{ω-2}）

　　它们就是康威所说的不及玄极的无穷数。

　　时间继续向前流逝，又过去N日以后，到达了第2N日。

　　这一日诞生了2ω=ω+ω=（{ω+1，ω+2，……}丨空集）

　　以及ω+ε，ω-ε这类数字。

　　每一个数本质上都是一对数集，每一个实数都能在无限次计算后得到精确数值。

　　ω和ε都是由可数无穷集合进行定义的数。

　　想要计算出这两个数的和与差，需要进行2次可数无穷计算。

　　“原来如此。”

　　“石板上所说的第几日实际上指的是第几次计算步骤。”

　　“ω这个无限大数需要ω次计算步骤才能得到，ε这个无限小数同样需要ω次计算步骤才能得到。”

　　所以这些由两个无穷数构成的数字都是在第2N日才会诞生。

　　在这一日还诞生了π+ε，π-ε等等存在于两个实数的缝隙之间，与标准的实数相差一个无穷小量的超实数。

　　李恒蹲下身体，从沙滩上抓起一把白色沙子，看着它们从指缝之间缓缓落下。

　　“我们现在所在的世界是在0～1之间的实无穷小区域，准确地说，是在数轴上0.99……到1之间的区域。”

　　“物体直观的体型大小不重要，重要的是它们包含的信息量。”

　　“在量子比特海洋中，具有不同最小空间尺度的宇宙天差地别，同等大小的物体容纳的信息量天差地别。”

　　“无穷大和无穷小是同等的复杂，具备同等强大的力量。”

　　“康威给每一个数字赋予了一个精确的生日，它表示了想要具体计算出一个数的困难程度。”

　　“有理数在有限的时间内诞生，它们可以在有限的计算步骤后得到精确结果。”

　　“实数在第N日诞生，这些实数几乎都是不可计算的数。”

　　“但这种不可计算只是对于有限的人类而言，任意实数都能用ω次计算得到精确的结果。”

　　“不过，有很多数字比单个实数更复杂。”

　　“比如两个不可计算数之和，就需要经过两轮ω次计算才能得到精确结果。”

　　“在超实数域中，数轴上还有着无穷多个不能用ω次计算得到精确结果的数，也就是那些在N日之后才诞生的数。”

　　“这个隐藏在0.99……和1之间的无穷小世界的空间尺度是以实无穷小ε计量的，任意空间区域里都容纳了无限的信息量。”

　　“生灵在这里的每一次迈步、每一次思考，都必须完成无穷次计算。”

　　“没有一具容纳着无穷力量的身体，在这个世界里连存在都做不到。”

　　在无法超脱时间复制洪流，受制于热力学第二定律的物质宇宙中，每一个比特信息量的变化都存在E=kTln2的等式关系。

　　这一点在绝对零度的无限世界中不再成立，但这不意味着“运动”、“变化”就没有消耗了。

　　运动与变化的本质是复制，是无中生有的力量创造的新事物。

　　一个存在于实数间隙之中的实无穷小世界，这里的空间是由那些在N日以后才诞生的超实数构成的。

　　能在这里存在的事物，至少也拥有无穷的力量，无论是沙滩上的白沙，还是海边的烧烤架。

　　“听起来似乎和之前牛顿与莱布尼茨所在的无穷小世界差不多？”

　　阿基里斯眨了眨眼睛回道。

　　但她心里知道，两个世界其实是不一样的。

　　之前的那个无穷小世界是潜无穷小世界。

　　构成那里空间的数是简单的无限，是那些可以被压缩，算法复杂度有限的简单的无理数。

　　这里的空间却是由不可被压缩、不可具体认知的超实数构成的。

　　无论是包含了ω还是包含了ε的数，它们的复杂度都不会比实数中的那些不可计算数更低。

　　所以，她现在看到的阳光、沙滩和大海都只是她眼中的错觉，是她那颗简单的大脑与它承载的孱弱思维所能认知的幻梦。

　　她现在能站在这片沙滩上也不是因为什么星球的引力作用，而是源于那些她根本无法认知的规则。

　　这里比她之前所在的那个混沌世界还要更奇诡，更随机，更未知。

　　她能在这个世界里活着，只是因为胸前这台二星芝诺机赋予她的不可数无限的力量。

　　这份力量过滤了这个世界里无处不在的，有着无限重量的沉重信息。

　　“还是有很大差别的。”

　　“在之前那个潜无穷小世界中，即使每一寸空间内都藏着无限的信息量和能量，但那里的物体依旧只是属于可数无限的范围。”

　　“但在这个比实数更稠密的超实数世界里，任意小的空间里都藏着不可数无限的信息量。”

　　刘维尔数集是个零测集，在数轴上占据了长度为零的区域，但却是能与实数一一对应的不可数无限集合。

　　与此类似的，在这个超实数世界里的一粒沙子、一滴海水、一粒灰尘，都能与实数集一一对应。

　　虽然构成这个世界的基本元素仍旧只是可数无限的数，但在这里的一切物体，无论直观的体型是大是小，体内都容纳着不可数无限数量的基本元素。

　　“零测集？”

　　阿基里斯立刻反应了过来。

　　“如果引入了无限大数和无限小数，这种结论应该就不准确了吧？”

　　“仔细想想就觉得很奇怪，概率为0的事件不一定不会发生，这种说法听起来就觉得有些不对劲。”

　　“还有，有限、可数无限、不可数无限，彼此之间天差地别，却都在实数轴上占据了长度为0的区域。”

　　“我觉得这些说法都很奇怪。”

　　“在普通的数学体系中不能使用n/∞=0这个等式，因为会得到∞×0可以等于任意实数的荒谬结果。”

　　“所以我觉得把这些不同的事件统一称作概率为零也不准确。”

　　李恒点点头道：

　　“说得没错。”

　　第一种情形，在一个无限不循环的无理数中找到一个特定的有限数，概率为零。

　　第二种情形，在一个由全体可计算数构成的集合中找到某一个特定的有限数，概率为零。

　　第三种情形，寻找一个特定的有限数，但将寻找的范围扩大到由全体实数构成的实数轴，结果还是概率为零。

　　明明事件实现的难度应该完全不同，却把这三种情形统一称作概率为零。

　　李恒寻找最初那个阿基里斯所在的小世界就比上述这三种情形都要困难得多。

　　就算是不可数无限的力量都不足以找到那个被隐藏起来的小世界。

　　信息量最初的定义源于对惊奇度的衡量。

　　一个事件发生的可能性越低，包含的信息量就越多。

　　反过来也可以说，想要实现某一个特定事件，需要的信息量越多，事件发生的概率就越低。

　　在超实数域中，引入了ε和ω这两个数以后，在一个无理数中找到某一个特定有限数的概率不再是0，而是实无穷小。

　　第729章 神上神

　　无限领域的力量最本质的是公理规则，其中最核心的是每一个无限集合都包含的无穷公理。

　　除此之外，无限领域的力量在具体的表现上很朴实无华，几乎都表现为操控事件发生的概率。

　　还有五十亿年寿命的太阳有概率在下一瞬就熄灭？那就熄灭它。

　　直径十万光年的银河系有可能突然跳到万亿光年外的不可观测宇宙？那就实现它。

　　看起来就和心想事成、俺寻思之力一样。

　　但这些事件并不是随便想想就能凭空实现的，“思考”、“想象”也需要物质基础支撑，没有超越物质的心灵。

　　想要实现那些在正常状况下难以发生的小概率事件，在有限的物质宇宙中必须要消耗这些事件对应的能量。

　　一切乱七八糟花里胡哨的能力，什么矢量操控、空间挪移、时间停止、掌握四大基本力之类的。

　　通通都可以归结为无限非概率引擎的能力，源于量子比特无限复制，创造出无穷平行宇宙与时间长河的力量。

　　这种操控可能性的引擎借用了宇宙真空本身的力量，利用永恒暴胀的无尽能量让那些小概率事件化为现实。

　　计算概率需要用到样本空间的概念，它是由所有可能的结果构成的集合。

　　以简单的抛硬币为例，抛掷十次硬币，共有2^10种不同的可能性。

　　每一个结果出现的概率为1/2^10，包含10比特的信息量。

　　由这些不同的抛硬币结果构成的集合就是一个样本空间。

　　有限的物质宇宙中事件的概率，无论是太阳突然熄灭，还是银河系突然跳跃到可观测宇宙之外，这些事件发生的可能性都是0～1之间的有理数。

　　由概率与信息的关系可知，这些事件包含的信息量都是有限的。

　　因此，有限宇宙中所有可能的事件构成的样本空间就是一个可数无限集合。

　　到了无限领域，无限非概率引擎进一步蜕变，成为了更强大的超图灵机。

　　这些拥有着神之力量的超级计算机的能力不再局限于概率在实数范围内的事件。

　　它们让那些有限的凡人永远不可能实现，发生概率为实无穷小的事件也可以成为现实。

　　同时，因为事件发生的可能性达到了实无穷小，每一个事件包含的信息量就变成了无限大数。

　　由所有可能的事件构成的样本空间也变成了更庞大的不可数无限集合。

　　这种涉及到无限领域的概率在原本的实数体系中是难以精确计算的。

　　实数里没有无限大数和无限小数，只能把这些有限的凡人永远不可能实现的神迹统一称作概率为零。

　　“微积分中也有高阶无穷小，把实数体系中处理的潜无穷小的变量换成超实数体系中实无穷小的数也是一样的道理。”

　　“在康威用全新的规则创造的数学宇宙中，无限大数和无限小数就像是普通的实数一样，在数轴上有序分布，可以彼此比较大小，也可以进行四则运算。”

　　“发生概率同为实无穷小的事件，彼此也包含着不同的信息量。”

　　李恒伸手敲了敲黑色的大石头，就像是面对着一块黑板一样，用白色的粉笔在上面写下了两个数。

　　ε=（{0}丨{1，1/2，1/3……}）

　　ω=（{1，2，3……}丨空集）

　　“无限小数ε显然就是无限大数ω的倒数，ε×ω＝1。”

　　“不仅如此，康威在第N日以后又继续创造出了许多个大于所有整数，却又不及玄极的数。”

　　“比如ω-1，ω-2等等。”