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　　※119.贝尔特拉米的拟球面

　　贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835—1899）

　　1868年

　　这张图是尼蓝德（Paul Nylander）的作品，是典型贝尔特拉米拟球面的变化型，称之为“喘息者拟球面”，其曲率也是一固定的负值。

　　托里切利的小号（1641年），最小曲面（1774年）及非欧几里得几何（1829年）

　　拟球体是一种特殊的几何物体，外观就像是把小号对接，但是两支小号的“吹口”却被无穷延伸至远程，就像只有无所不能的上帝才有办法吹得到一样。在几何学与物理学都占有一席之地、意大利籍的贝尔特拉米在1868年发表一篇名为《一种非欧几里得几何的阐述论证》（Essay on an Interpretation of Non-Euclidean Geometry）的论文，成为第一位深入讨论这个奇特结构的数学家。只要把一种称为曳物线（也叫做等切距曲线，英文名为tractrix）的曲线沿着渐近线旋转一圈，就能制作出拟球体的曲面。

　　相较于一般球面上任何一点都具备正曲率的性质，拟球面的曲率为一固定的负值，换句话说，拟球面上任何一点（中央的歧点除外）都维持相同的凹性；因此，球面是具有有限面积的一个闭曲面，而拟曲面则是具有无限面积的一个开曲面。英国科学作家达林写道：“虽然二维平面和拟球面都是无限大，但是说实在的，拟球面显然更具有空间效益多了！好比用以下这一种想象方式说明：拟球面无限大的面积可是聚集在比二维平面更具张力的范围内。”负曲率的拟球面会使得画在其上三角形夹角总和小于180 °，这种拟球面的专属几何学被称为双曲线几何，历史上有些天文学家认为我们所存在的宇宙应该就是属于具有拟球面性质的双曲线几何；拟球面在数学史上的重要性，在于它是头几个非欧几里得（Non-Euclidean）空间的模型之一。

　　贝尔特拉米广泛的兴趣远远超乎数学领域之外，他在集结成四册的《数学著作》（Opere Matematiche）作品集中，共讨论了光学、热力学、弹力分析、磁学及电力学等各种课题。贝尔特拉米是“山猫眼科学研究会”的成员，在1898年担任这个科学研究会的会长一职，在他去世前一年还曾被选为意大利国会的议员。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现