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　　※167.巴拿赫—塔斯基悖论

　　巴拿赫（Stefan Banach，1892—1945）塔斯基（Alfred Tarski，1902—1983）

　　1924年

　　巴拿赫—塔斯基悖论呈现出如何取一颗球的一种数字表征，并将之分解后重组成跟原先球体一模一样的两颗球。

　　季诺悖论（约公元前445年），亚里士多德滚轮悖论（约公元前320年），圣彼得堡悖论（1738年），理发师悖论（1901年），策梅洛的选择公理（1904年），郝斯多夫维度（1918年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），生日悖论（1939年），海岸线悖论（约1950年），纽康伯悖论（1960年）及巴兰多悖论（1999年）

　　著名但却看似诡异的巴拿赫—塔斯基悖论是由巴拿赫和塔斯基这两位波兰数学家在1924年首次提出。这项悖论（其实应该算是一种证明）指出我们有办法把球体的一个数字表征拆成许多碎片，然后再用这些碎片组合出与原先球体一样大小的两个球，甚至我们还可以把一个豌豆大小的球体分解后重组成一个跟月亮一样大的球体！另一位数学家罗宾森（Robinson）在1947年证明五片是组成球体的最低碎片需求数。

　　这项悖论是基于之前郝斯多夫（Felix Hausdor）的研究成果，显示我们可以在实体环境下测度的物体，譬如说是一颗球，一旦被数学家先依照定义分解成无限的点集合，再采用像是转换、旋转等不同方式重新组合后，可能就会变成另一个截然不同的物体。在巴拿赫—塔斯基悖论中所讨论的不可测度子集合（也就是把球分解后的碎片）经过繁复操作后变得非常复杂，在实体世界中已经找不到可以直接对应的边界与立体空间——而且这个悖论在二维空间中并不成立——只存在于所有维度高于二维空间的环境。

　　由于巴拿赫—塔斯基悖论是根据选择公理而来，而这项悖论看起来又是如此诡异，以致让有些数学家也怀疑起选择公理是否并不正确。但尴尬的是，选择公理在许多数学分支领域是如此地好用，所以，也有很多数学家往往不动声色地，继续在证明过程及提出定理的时候使用选择公理。

　　才华洋溢的巴拿赫在1939年被选为波兰数学学会的会长，可是过没几年当纳粹占领波兰时，巴拿赫竟被迫成为用虱子研究传染病的人体样本因而丧命。另一方面，由于波兰大学很少提供真正高阶的职位给犹太人，使得塔斯基因此改信罗马天主教，而他的家族成员在第二次世界大战期间，也几乎全数遭到纳粹毒手。 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现