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　　※080.圣彼得堡悖论

　　丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）

　　1738年

　　自从18世纪30年代开始，哲学家和数学家就开始思考圣彼得堡悖论这个问题；根据分析，参与赌局的玩家可以合理预期赢得数不尽的金钱，但是，说真的，你究竟愿意花多少钱下注？

　　季诺悖论（约公元前445年），亚里士多德滚轮悖论（约公元前320年），大数法则（1713年），理发师悖论（1901年），巴拿赫─塔斯基悖论（1924年），希尔伯特旅馆悖论（1925年），生日悖论（1939年），海岸线悖论（约1950年），纽康伯悖论（1960年）及巴兰多悖论（1999年）

　　丹尼尔·伯努利是在荷兰出生的瑞士数学家、物理学家暨医生。他写过一篇相当有趣的概概率论论文，最终于1738年发表于《圣彼得堡帝国科学学会评论集》（Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg）。这篇论文主要就是讨论如今我们称之为圣彼得堡悖论的问题。这个问题与赌徒掷铜板赢钱的赌局有关，哲学家和数学家花了很长的时间，讨论参与这个赌局的合理下注金额究竟是多少，各位读者也不妨问问看自己究竟愿意花多少钱下注？

　　圣彼得堡悖论的一种叙述方式如下：掷一枚铜板直到它出现背面为止。假设这个过程总共掷了n次，则出现背面时，赌徒可以赢得的彩金是2元。换句话说，如果掷第一次铜板的结果就是背面，则赌徒可以赢得的彩金是2=2元，赌局也就结束了。如果第一次掷铜板的结果是正面，那就要掷第二次铜板；要是第二次的结果是背面，彩金金额是2=4元，赌局就在此打住。其他结果以此类推。详细讨论这个赌局的悖论并不是本书重点。总归一句，根据赛局理论的分析，一位“理性的赌徒”应该在、也必须在下注金额比合理预期的彩金金额更低时，才会参与赌局，但是，在圣彼得堡悖论的这个赌局中，任何数字有限的下注金额都比赌局的预期报酬来得低，也就是说，无论我们设定出什么样数字有限的下注金额，一位理性的赌徒应该会不顾一切地赌上一把才对！

　　伯恩斯坦（Peter Bernstein）对于丹尼尔·伯努利提出这个寓意深远的悖论有着以下评论：“这篇是史上最深奥的论文之一，因为这篇论文同时触及了风险课题与人类行为。丹尼尔·伯努利指出理性估算与放手一搏之间的复杂关系，一种在人生所有面向都几乎无所不在的课题。” 数学之书：数学史上250个里程碑式的发现