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　　第1章

　　新手入门

　　对标准数独的基础认知

　　Part 1 数独简介

　　数独是一种有趣的逻辑推理游戏。它需要让玩家在空格内填入数字1到9，使得每一行、每一列和每一个由粗线围起来的3×3的“九宫格”（以后简称为“宫”）内，填入的数字都必须包含数字1到9各一个；而且，数字是不重复的。也就是说，没有一样的数字会同时出现在同一行、列、宫内。以下就是一个题目，和它的解（就是答案的意思）。

　　我们要求，一个合适的题目只允许有一个解。如果一个题目包含有两个答案，甚至是怎么填都有错，就可以说明题目是不太合格的。

　　另外，有一些萌新小伙伴们，可能会觉得这个题对角线上是有重复的数字出现的，其实在数独的基础规则里，它只要求了每一行、列、宫不含有重复的数字。所以对角线本身是不包含在数独规则里的；另外，数字也并未要求和等于特定数值，所以不要认为数独是需要加减运算的。

　　我们也将这种基础规则的数独题，称为标准数独；当然了，与之对应的，还存在变型数独。变型数独指的是，除了标准数独规则以外，还含有额外数独规则的数独类型，或是将标准数独规则重新更改后产生的数独类型，例如下面这个题，就是一个变型数独，它是变型数独里的其中一种，称为杀手数独。如下图所示。

　　杀手数独规则是，在满足标准数独规则的前提下，盘面内具有众多的虚线框，每一个虚线框上也都标注有数值。在每一个虚线框内，填入的数字都不能有相同的数字出现，并且它们的和，就等于这个虚线框最左上角的那个数值。例如第1排第1格、第2排第1、2格和第3排第2格，这样四格的填数是不一致的，而且它们的和就等于15。可以从答案之中看出，3+1+6+5，确实等于15。

　　Part 2 坐标描述

　　当然了，为了简化我们的叙述，就产生了约定俗成的东西——坐标描述。我们使用坐标的描述，就可以精准地定位到每一个单元格便于我们叙述。

　　我们将每一行用字母A到I表示出来，A表示第1排、B表示第2排、C表示第3排、……直到字母I表示第9排（最后一排）；而我们用数字1到9表示列，数字1就表示第1列、2表示第2列、3表示第3列，依此类推。

　　这样我们就可以使用字母加数字的方式找到每一个单元格的位置，比如上一页杀手数独里，虚线框为15的四格分别为A1、B1、B2和C2。

　　另外，B1和B2可以简写为B12，将重复出现了的字母B省略，然后直接拼接在一起即可。当然了，BD12就表示B1、B2、D1和D2。你可以看成是先将B1和B2拼接为B12，D1和D2拼接为D12，然后再将B12和D12里相同的部分“12”省略一个，然后B和D拼接在一起：BD12。

　　我们知道了这一点后，叙述一些内容就很轻松了。

　　Part 3 题目术语简介

　　当然了，这本题册里包含了很多变型，但是一些词语晦涩难懂，所以此处我们先罗列和总结其中一些词，以便在你做题之中能够顺畅起来。

　　连续

　　“连续”这个词有两层意思。第一层意思表示两个或多个相邻的单元格，诸如B1和C1，或是A4和A5这样，挨着的两个单元格，称为连续的单元格。当然了，这个词语如果用于这层意思的话，一般表示的是同一行或同一列里接连挨着的多个单元格，比如A1、A2、A3、A4，或是G5、H5、I5这样的情况。

　　连续还有一层意思，表示两格的填数的关系。如果两格的填数只相差1（总用较大的减去较小的），就称为两格的填数连续。比如A3填的是3，B5填的是4，因为3和4是只相差1的数，所以我们可以说，A3和B5的填数是连续的。当然了，这里就不要去钻牛角尖，认为3-4=-1，而不是1。括号里的话已经写清楚了，一般用其中较大的那个数减去较小的那个数。

　　额外区域

　　在提起额外区域这个词语之前，我们要先了解“区域”的概念。

　　区域是行、列、宫的总称，每一个行、列、宫都可以称为一个区域。在叙述稍微模糊一些的时候，我们就不需要精确地定位到特定的行、列、宫上，就可以使用区域一词来表示。

　　在这些区域（行、列、宫）中，数字要求是1到9完整出现一次，并且是不含有相同的数字的。所以就根据这个说法产生了“额外区域”这个词语。

　　额外区域指的是，在标准数独要求的基础上，但也满足1到9完整地都出现一次，且不含有相同数字的情况。可以发现，既然要满足不重复且都要出现一次，就必须是九个单元格才行。所以一个额外区域一定由九个单元格组成。

　　如图所示，这个变型数独题目里，有3个标注出来的额外区域，分别是BCD234、FGH678和撇对角线上的九格。

　　可以发现，这样的3个额外区域，确实满足刚才叙述的要求：内部填数不重复，且恰好是1到9各自都出现了一次。

　　实际上，这个变型数独称为百分比数独，是额外区域类型数独中的一种。我们也经常将带有额外区域类型的变型数独简称为额外区域数独。

　　当然了，在后续的题目之中，也会有对这个词语或多或少的一点描述。

　　全/局/零标

　　在一些标注形式的变型数独题里，经常会出现一些神奇的题目。

　　比如说连续数独（连续数独也是变型数独的一种），它要求在满足标准数独规则的前提下，还给了很多黑条，这些黑条表明两侧单元格的填数是连续的（规则也会在后面的题目之中作更详细的介绍）。

　　但是，一般意义上，连续数独里，这样的黑条都是全部都标注完了的，也就是说，盘面里所有相邻两格填数是连续的地方，都会有挡板标注；反之，如果没有挡板标注，两格的填数就一定是不连续的。所以我们经常也会使用后面“反之”的情况。我们将这样一类“所有满足要求的均已经标注出来”的现象称为全标。

　　当然了，不是所有标注类的变型数独题都一定要把所有满足要求的情况都标注出来。例如下面这个变型数独题（称为斜线数独），它就不是全标的。

　　斜线数独规则一样要基于标准数独。不过在此之上，我们会将其中一部分斜向连续的好几个单元格用斜线串起来，表示这条线上的数字不重复，如图所示。

　　通过对照答案，我们可以发现，其实并不只是这样一部分斜线上的填数要不重复，但是为了保证这个题目斜线的形状的美观，我们只标注出了这样一部分斜线。这种现象也称为局标，即局部标记（或局部标注）。

　　还有一种，叫零标。零标是一种非常特殊的变型数独，它满足全标的要求，但没有可以标的位置，例如不连续数独。

　　你可以看成是“没有标记的全标连续数独题”。也就是说，这是一个连续数独，满足连续数独（全标）的所有要求，但是没有黑条的原因是，全盘都没有两个相邻单元格的填数是连续的。所以这样的连续数独称为不连续数独，即两侧的填数一定不连续。这种现象就是零标了。

　　相邻、周围

　　这两个概念也是非常常用的叙述词汇。我们一般习惯将某个单元格的上、下、左、右四个单元格，都称为这个单元格的相邻单元格；而斜挨着这个单元格的四格，算上上下左右四格（一共八格），被称为周围单元格。

　　如图所示，来感受一下它们的区别。

　　距离

　　距离这个词语比较偏向于术语，用得比较少，但有些时候叙述起来是非常方便的。它指的是，两个相邻单元格的填数，使用较大值减去较小值得到的差。例如，如果A3是4，A4是9，则A34的距离为9-4=5；如果B7是6，C7是4，则BC7的距离是6-4=2。这个词语一般只用于老板数独里，这种变型数独的规则相当之复杂，你可以在后续的题目里找到这个变型数独相应的习题。

　　奇/偶数、质（素）/合数

　　以下的变型数独题会经常用到它们。虽然这些词语比较常见，但这里为了读者阅读方便，罗列至此。

　　奇数指的是不能被2除尽的整数。例如1、3、5、7、9等；

　　偶数指的是能被2除尽的整数。例如2、4、6、8等；

　　质数一般指的是一个大于1的正整数，在1和这个数本身期间的所有数字都无法整除这个数的数字。例如2、3、5、7等，也称素数（举例来说，数字7：2到6里，找不到一个数可以除尽7）；

　　合数则是大于1的正整数，但和质数相反，可以找到至少1和本身之间的一个数可以除尽它，例如4、6、8、9等。

　　一般来说，在数独里只用到正的奇数，它一般也俗称为“单数”；正的偶数则一般俗称为“双数”。

　　Part 4 基本数独技巧

　　当然了，不靠一些数独技巧也是无法完成题目的，所以这里简单介绍一些数独技巧，帮助你完成后面的一些题目。

　　排除

　　宫排除

　　如图所示，我们可以观察到，数字6在第2个宫内，填数的位置只有唯一一处。根据数独规则，“每一行、每一列、每一个宫内的填数必须是数字1到9，没有重复的数字出现”。所以我们可以观察到，A4和A5两处明显是不可以填入6的，否则A行内就会出现两个6，违背数独规则；同理，C4和C5也是一样。

　　因此，根据这样的要求，我们发现，第2个宫内，填入6的位置只有C6可以，所以C6一定填入6。

　　因为这个技巧对于宫内进行排除，所以称为宫排除法。

　　在观察宫排除时，我们只需要忽略其他的数字，然后逐个从数字1到数字9进行观察即可。对于初学而言，建议从数字1到数字9的顺序（或是从数字9到数字1）挨个查找宫排除。

　　行/列排除法

　　除了宫排除外，还有对行和列作排除的技巧。

　　如图所示，我们发现第4列，填入4的位置只有E4一处，而C4和G4都不能填入4，否则对应行上会有两处4，产生重复。

　　当然，也存在行排除技巧。不过这里不给予示例，请自行观察和寻找。

　　区块

　　行列排除不好观察，所以我们可能会采用一种名为区块的技巧来代替一部分行/列排除。区块同排除一样，分宫区块和行/列区块。

　　宫区块

　　如图所示，观察第4个宫，我们发现4只能填入到D1或D2。虽然具体我们确定不下来，但我们可以确定的是，D1和D2内有一个单元格一定是填4的。而恰好，它们又刚好同一行，所以D行内其余位置都不能填入4。

　　于是我们观察第6个宫（或观察第9列），我们发现4只能填入到F9之中。所以F9应填4。

　　这样的宫排除比较起行列排除来说，要轻松一些。我们称，类似于“D1和D2内一定有一格填4”这样的结构为区块。因为结构是从宫内推导得到的，所以称为宫区块。

　　行/列区块

　　有宫区块，就一定存在行/列区块。

　　如图所示，观察E行，我们发现，E行能够填入数字9的位置，只有E7和E9。

　　而我们发现，E7和E9内恰有一格填入数字9，而它们又刚好同一个宫，所以第6个宫内的其余位置都不可以填入数字9。

　　于是观察第7列，由于9不能填入D7，所以数字9只能填入到E7了。

　　这个技巧称为行区块。因为区块产生于行内。不过，这样的结构依然是比较难观察到。所以，我们还有比它规模更大一些的区块，它的视角会更轻松一些。

　　级联区块

　　如图所示，我们可以观察到，第1列和第5列，填入5的位置恰好只有A1、A5、C1和C5（AC15）四格。

　　这两个区块，能够表示AC1内只有一格是5；AC5内也是一样。那么，我们可以清楚地了解到，这样两个区块恰好可以构成一个长方形的形状，所以5的填数位置是错开的。也就是说，如果A1是5的话，那么右边的区块内，只能是C5是5；换过来，C1是5的话，右边的区块内A5是5。

　　不论如何，A行和C行内，这四格之中必有填入5的位置，所以A行和C行之中，其余位置都不可能是5，否则必然会有数字5重复的情况发生。所以，A8自然就不能是5了。

　　于是，我们发现，第8列内，填入5的位置只能是B8。所以B8是5。

　　这种区块有一点点难受的地方在于结构可能是产生于行列的。不过，这样的结构往往都有与之互补的区块，比如下面这样：

　　它和前面一题是一样的，不过换了个角度。观察第5、8两个宫，可以发现5的填数位置形成了区块，位于D4、D6、H4和H6（DH46）四格。

　　所以根据B行的排除法，可以发现5的填数位置只有一处。

　　不过，你可以看到，这样的区块其实只需要一个行/列区块就可以搞定，这样组合起来看，只是为了观察的方便。

　　唯一余数

　　唯一余数是另一种得到数字的技巧。

　　如图所示，当排除法不好用的时候，我们可以尝试观察唯一余数。

　　我们发现，G9单元格只可能填入4。原因在于，G9所在的行、列、宫内，恰好存在1、2、3、5、6、7、8、9，就只有数字4没有出现。

　　如果填入这些数，显然会重复。所以只能让G9填入4。

　　这个技巧称为唯一余数，简称唯余。

　　割补法

　　割补法，是借助于另外一种变型数独“锯齿数独”（接下来会介绍到）而产生的数独观察技巧。所有这样的技巧都能被改写为区块技巧或接下来要介绍的“数组”技巧的观察，不过由于割补法的存在，这样的区块就会较为容易地被观察出来。

　　如图所示，观察第4个宫和D行，因为这两个区域内，都必须有1到9各一次，而它们还具有D1、D2和D3三格是“共用”部分。所以，我们可以知道一点，D4、D5、D6、D7、D8和D9（D456789）这六格和E1、E2、E3、F1、F2和F3（EF123）这六格的填数必然是一样的。

　　可以观察到，D456789中有四个数，EF123中也有两个数，它们恰好不重复，也恰好是六个数。那么我们可以直接知道，D456789和EF123内一定都是数字1、3、4、5、7、8。

　　随即观察第7列，数字9的填数位置只有F7可填。E7不能填9的原因是，在第5个宫内，9形成区块，E4、E5和E6之中有一格是9，所以E行内不能再填9。

　　数对

　　隐性数对

　　如图所示，我们可以直接观察到，数字3和数字8在第1个宫的填数情况都只有同样的两格：B12。因为我们可以直接找到旁边的一簇3和8的提示数的排除，发现到这一点。

　　因为3和8这两个数字都恰好只能填入到B12两格之中，所以这两格一定是3和8，别无其他。

　　于是，观察第1列，数字9的填数位置就只剩下H1。所以H1是9。

　　这个技巧称为隐性数对，因为数对的存在是“隐性”的，它需要提示数作出排除后才会发现，它是隐藏在盘面之中的。而这里的3和8，我们可以说，它们是一个数对。

　　显性数对

　　有隐性数对，就有显性数对。

　　如图所示，观察第9列，发现C9只可能填入数字6和8；而恰好，同样位于第9列的F9，也只可能填入6和8。所以，CF9这两格的填数只能是“此6彼8”或“此8彼6”的状态。但是不论是哪种情况，因为6和8被确定下来在CF9两格，所以第9列其余位置肯定都不会是6和8了。不然的话，一定会有一个数和这两格的填数有重复。

　　随即观察第9个宫。发现根据如此得到的结论后，数字6只能填入到H7，所以H7一定填6。

　　这个技巧称为显性数对，因为数对是直接裸露存在的，通过类似唯一余数的数数方式，就可以直接看到它们。

　　说起简单，使用起来可没有那么简单。所以以后还需要多加练习，巩固这些数独技巧。这些技巧也就是数独里最为基础的技巧，不论是标准还是变型数独题，这些技巧都是存在的。

　　数组简介

　　当然了，有没有办法将数对进行推广呢？当然是有的，数对大致指的是“一个区域下，只有两格填入两种不同数字”的情况，那么将其推广，就只需要修改里面的“两”字：

　　一个区域下，只有n格填入n种不同数字的情况。

　　这种说法我们称之为数组（或链数），其中n为2的时候叫做数对（或二数组、二链数）；n为3的时候，叫三数组（或三链数）；n为4的时候叫四数组（或四链数）。

　　这就是数组的基本描述。不过这种东西在一定程度上是比较难观察到，并且难理解。所以本书不着重讲解这一点。你只需要了解即可，以便后续提到类似的东西时，可以马上了解到它。这里给出一个示例帮助你理解数组。

　　隐性三数组

　　如图所示，可以观察E行，发现2、4、8的填数位置只可能在E347三个单元格。很显然，数字2、4、8只可能填入到这三格的话，那这三格就一定是2、4、8，别无其他。

　　再次观察E行，发现数字3的填数位置只剩下E9。所以E9一定是3。

　　显性三数组

　　如图所示，观察第8个宫，发现G46和H4三个单元格内，只有4、8、9这样三种数字可以填入。试想一下，这样三个单元格同一个宫，并且只有三种不同的数字可以填入进这样三个单元格内，那么不管怎么换着填数，这三格都只可能是4、8、9。

　　因为这样三格只能是4、8、9，所以这一个宫内的其余位置都不能是4、8、9，但凡出现其中一格是4、8、9其一的话，就必然会和这三格内的填数产生重复。

　　此时观察第5列，发现数字4只有C5唯一一处可以填入。所以，C5一定是4。

　　总结

　　标准数独的基础技巧就已经全部介绍完毕了。下面我们来作一个总结，教大家如何观察这些技巧。

　　排除法，需要你用观察“消消乐”的方式来观察它。在玩消消乐的时候，我们是针对同一种颜色的物件来着重观察的；而排除则是观察同一种数字。排除法仅会涉及同一种数字，所以在观察之中，先看填入的一些数字是否有基础的排除结果，注重观察数字的分布状况，进而得到一些结论；这个时候可以配合一些宫区块来观察。

　　唯一余数法，这种技巧较为难观察到，由于它的逻辑和排除基本上是可以说“完全相反的”，所以在观察它的时候，就需要切换角度，不能再使用消消乐的眼睛来看它了。这个时候，先纵观整个盘面，有哪些种类的提示数，以便找到一格，比较容易得到唯一余数的结果；其次确定好一些“可能是唯一余数”的位置时，再通过快速的数数操作，确定单元格内填入的数是否真的只有唯一的一种情况。针对于数数操作，你需要多加练习，可以登录这个网站努力练习：http：//www.sudokufans.org.cn/finder.php。

　　数对里，显性数对比隐性数对的观察要难一些，因为显性的思维方式和唯一余数类似；而隐性数对则和排除的思维类似。所以在观察的时候，我们尽量优先观察隐性数对，然后是显性数对的方式来节省时间。在观察数对的时候，我们通常为了快速观察到，一般都是通过分解成两个区块的形式来观察：即先观察到一个a的区块，随后发现b的区块也在a区块所在两格，于是a和b就形成了隐性数对结构。当然，这种结构一般只产生于同宫又同一行/列的情况。较为复杂的结构，就需要使用行/列排除类似的逻辑来找了，不过，也是需要观察两种不同的数字的。

　　那么，后面就是7个练习题啦（题号300～294），要加油哦！ 每日数独（专栏版）